Lawrence-McCarty 模型

公式

Lawrence-McCarty模型的两个基本方程式如下。

$\frac{1}{\theta_c} = Y U_s - K_d$

$U_s = v = \frac{v_{max} S_e}{K_s + S_e}$

并由此可导出下面两个方程。后者的突出之点是强调了细胞平均停留时间 $\theta_c$ 这一参数的重要性及其在设计、运行中的意义。

$S_e = \frac{K_s (1 + K_d \theta_c)}{\theta_c (Y v_{max} - K_d) - 1}$

$X = \frac{\theta_c}{\theta} \cdot \dfrac{Y (S_0 - S_e)}{1 + K_d \theta_c}$

式中：
$S_0$ , $S_e$ ——反应器进水、出水的基质浓度，mg/L，如存在不可生物降解物质，则应考虑 $S_n$ 的问题；
$\theta_c$ —— 细胞平均停留时间(MCRT)，即细胞平均停留在处理系统内的时间，d；
$\theta$ ——水力停留时间，d，有时也用t表示；
$X$ —— 微生物浓度，mg/L，在活性污泥法中可以MLVSS表示；
$U_s$ —— 以基质去除量为基础的污泥负荷，此时等于基质比去除速度 $v$ ， $\rm d^{-1}$ ；
$v_{max}$ —— 基质最大比去除速度， $\rm d^{-1}$ ；
$K_s$ —— 饱和常数，mg/L；
$K_d$ ——衰减常数， $\rm d^{-1}$ ；
$Y$ —— 理论产率系数，mg微生物/mg基质。

推导

推导： Lawrence-McCarty模型是以微生物生理学为基础，根据微生物增长与基质利用的关系推导出来的。

$\frac{d X}{d t}=Y \frac{d F}{d t}-K_d X$

式中：
$\displaystyle\frac{d F}{d t}$ ——基质利用速度， $\rm mg/(L \cdot d)$ ；
$Y$ ——理论产率系数，mg微生物/mg基质；
$\displaystyle\frac{d X}{d t}$ ——微生物净增长速度， $\rm mg/(L \cdot d)$ ；
$K_d$ ——衰减常数，即微生物自身氧化率， $\rm d^{-1}$ ；
$X$ ——微生物的浓度，mg/L。

上式中各项均除以 $X$ ，得：

$\frac{d X / d t}{X}=Y \frac{d F / d t}{X}-K_d$

而

$\begin{gathered} \frac{d F}{d t}=\frac{d\left(S_0-S\right)}{d t}=-\frac{d S}{d t} \\ U_s=-\frac{d S / d t}{X} \\ \mu=\frac{d X / d t}{X}=\frac{1}{\theta_c} \end{gathered}$

得：

$\frac{1}{\theta_c}=Y U_s-K_d$

因为

$U_s=v=\frac{v_{\max } S_e}{K_s+S_e}=K_2 S_e$

所以

$\begin{aligned} S_e & =\frac{K_s\left(1+K_d \theta_c\right)}{\theta_c\left(Y v_{\max }-K_d\right)-1} \\ & =\frac{1 / \theta_c+K_d}{Y K_2} \end{aligned}$

因为

$U_s=\frac{S_0-S_e}{X t}=\frac{S_0-S_e}{X \theta}$

所以

$X=\frac{\theta_c}{\theta} \cdot \frac{Y\left(S_0-S_e\right)}{1+K_d \theta_c}$